Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，E为PC中点，底面ABCD是直角梯形．AB∥CD，∠ADC=90°，AB=AD=PD=1，CD=2．
（Ⅰ）求证：BE∥平面APD；
（Ⅱ）求证：平面PBC⊥平面PBD．

Answer 1

分析：（1）利用线面平行的判定定理证明平面APD内的直线AF∥BE，即可证明BE∥平面APD．
（2）先证明证明BC⊥平面PBD，利用面面垂直的判定定理，证明平面PBC⊥平面PBD．

解答：解：（I）取PD的中点F，连结EF，AF，
∵E为PC中点，
∴EF是三角形PDC的中位线，
∴EF∥CD，且EF=

1

2

CD=1，
在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=1，
∴EF∥AB，EF=AB，
∵四边形ABEF为平行四边形，
∴BE∥AF，
∵BE?平面PAD，AF?平面PAD，
∴BE∥平面PAD．
（II）AB=AD=PD=1，CD=2，
则BC⊥BD，
∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥BC，
∵BD∩PD=D
∴BC⊥平面PBD，
∵BC?平面PBC，
∴平面PBC⊥平面PBD．

点评：本题主要考查空间直线和平面平行和面面垂直的判定，要求熟练掌握相应的判定定理和性质定理．