Question

5．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$sin2x+2cos²x+a
（1）求函数f（x）的最小正周期以及单调递增区间；
（2）当x∈[0，$\frac{π}{4}$]时，函数f（x）有最大值4，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性、单调性求得函数f（x）的最小正周期以及单调递增区间．
（2）由条件利用正弦函数的定义域和值域求得函数f（x）的最大值，再根据最大值为4求得a的值．

解答 解：（1）函数f（x）=$\sqrt{3}$sin2x+2cos²x+a=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x+1+a=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+a+1，
故函数的周期为$\frac{2π}{2}$=π．
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，求得kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，故函数的单调区间为[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈z．
（2）当x∈[0，$\frac{π}{4}$]时，2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，函数f（x）的最大值为2+a+1=4，∴a=1．

点评 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性、单调性、定义域和值域，属于基础题．