Question

16．在数列{a_n}中，a₁=1，2a_na_n+1+a_n+1-a_n=0（n∈N^*）．
（Ⅰ）求证：数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}为等差数列，并求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若ta_n+1（a_n-1）+1≥0对任意n≥2的整数恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）已知等式两边同除a_na_n+1化简后，根据等差数列的定义可证数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}为等差数列，由等差数列的通项公式求出{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）和分离常数法化简不等式，利用作差法判断数列的单调性，再求出t的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）由题意得，2a_na_n+1+a_n+1-a_n=0，
两边同除a_na_n+1得，$\frac{1}{{a}_{n+1}}-\frac{1}{{a}_{n}}$=2，
∵a₁=1，∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以1为首项、2为公差的等差数列，
则$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+2（n-1）=2n-1，
∴a_n=$\frac{1}{2n-1}$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，ta_n+1（a_n-1）+1≥0为t•$\frac{1}{2n+1}$（$\frac{1}{2n-1}$-1）+1≥0，
由n≥2化简得，t≤$\frac{（2n-1）（2n+1）}{2（n-1）}$，
设b_n=$\frac{（2n-1）（2n+1）}{2（n-1）}$，
则b_n+1-b_n=$\frac{（2n+1）（2n+3）}{2n}$-$\frac{（2n-1）（2n+1）}{2（n-1）}$
=$\frac{2n+1}{2}•\frac{（2n+3）（n-1）-n（2n-1）}{n（n-1）}$=$\frac{（2n+1）（2n-3）}{2n（n-1）}$＞0，
∴当n≥2时，数列{b_n}是递增数列，则$\frac{（2n-1）（2n+1）}{2（n-1）}$≥$\frac{15}{2}$，
∴实数t的取值范围是（-∞，$\frac{15}{2}$]．

点评 本题考查等差数列的定义、通项公式，数列的递推式的化简与应用，数列单调性的判断方法等，属于中档题．