Question

18．已知函数f（x）=e^x，g（x）=lnx+2．
（I）当x＞0时，求证：f（x）＞g（x）；
（Ⅱ）当x≥1时，若不等式f（x）≥2ax-a≥g（x）-$\frac{3}{2}$恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）对p（x）求导，再令h（x）=p′（x）=0，令x=m（0＜m＜1），h（x）=0，即e^m=$\frac{1}{m}$，-m=lnm，再讨论0＜x＜m，x＞m，m（x）的单调性，得到p（x）＞p（m），由基本不等式证明p（m）＞0即可；
（2）运用参数分离可得x≥1时，a≤$\frac{{e}^{x}}{2x-1}$恒成立，且a≥$\frac{lnx+\frac{1}{2}}{2x-1}$恒成立，分别求得右边函数的最大值和最小值，由不等式恒成立思想即可得到a的范围．

解答 （1）证明：令p（x）=f（x）-g（x）=e^x-lnx-2，
∵p′（x）=e^x-$\frac{1}{x}$，
令h（x）=p′（x），则h′（x）=e^x+$\frac{1}{{x}^{2}}$＞0，
∴h（x）在（0，+∞）上为增函数，
令x=m（0＜m＜1），h（x）=0，即e^m=$\frac{1}{m}$，即-m=lnm，
当0＜x＜m时，h（x）＜0，则p（x）在（0，m）上递减，
p（x）＞p（m）=e^m-2-lnm=$\frac{1}{m}$+m-2＞2-2=0，
即p（x）＞0；
当x＞m时，h（x）＞0，则p（x）在（m，+∞）上递增，
p（x）＞p（m）=$\frac{1}{m}$+m-2＞2-2=0，
即f（x）＞g（x）．
（2）解：当x≥1时，若不等式f（x）≥2ax-a≥g（x）-$\frac{3}{2}$恒成立，
即为a≤$\frac{{e}^{x}}{2x-1}$恒成立，或a≥$\frac{lnx+\frac{1}{2}}{2x-1}$恒成立
令m（x）=$\frac{{e}^{x}}{2x-1}$（x≥1），m′（x）=$\frac{{e}^{x}（2x-3）}{{（2x-1）}^{2}}$，
当1≤x＜$\frac{3}{2}$时，m′（x）＜0，m（x）递减；
当x＞$\frac{3}{2}$时，m′（x）＞0，m（x）递增．
则x=$\frac{3}{2}$处m（x）取得极小值，也为最小值，且为$\frac{1}{2}$${e}^{\frac{3}{2}}$，
则a≤$\frac{1}{2}$${e}^{\frac{3}{2}}$，①
令n（x）=$\frac{lnx+\frac{1}{2}}{2x-1}$（x≥1），
n′（x）=$\frac{1-\frac{1}{x}-2lnx}{{（2x-1）}^{2}}$，
由1-$\frac{1}{x}$-2lnx的导数为$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{2}{x}$=$\frac{1-2x}{{x}^{2}}$＜0（x≥1），
即有1-$\frac{1}{x}$-2lnx≤0，
即为n′（x）≤0，n（x）在x≥1上递减，
则n（x）≤n（1）=$\frac{1}{2}$，
则a≥$\frac{1}{2}$②
由①②可得$\frac{1}{2}$≤a≤$\frac{1}{2}$${e}^{\frac{3}{2}}$．

点评 本题考查导数的应用：判断函数的单调性，以及构造函数的思想，考查函数的单调性和应用，属于中档题．