Question

3．若函数y=x³+bx²+cx在区间（-∞，0）及[2，+∞）是增函数，在（0，2）是减函数，求此函数在[-1，4]上的值域．

Answer 1

分析 求出函数的导数，根据函数的单调性求出函数的解析式，从而求出函数的值域即可．

解答 解：∵y=x³+bx²+cx，∴y′=3x²+2bx+c，
若函数在区间（-∞，0）及[2，+∞）是增函数，在（0，2）是减函数，
则0，2是方程3x²+2bx+c=0的根，
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=0}\\{12+4b+c=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-3}\\{c=0}\end{array}\right.$，
∴y=x³-3x²，
函数在[-1，0）递增，在（0，2）递减，在（2，4]递增，
而f（-1）=-4，f（0）=0，f（2）=-4，f（4）=16，
故此函数的值域是[-4，16]．

点评 本题考查了函数的单调性、最值、极值问题，考查导数的应用，是一道基础题．