Question

13．如图在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2AB，则异面直线A₁B与AD₁所成角的余弦值为（　　）

• A． $\frac{1}{5}$
• B． $\frac{2}{5}$
• C． $\frac{3}{5}$
• D． $\frac{4}{5}$

Answer 1

分析 如图所示，建立空间直角坐标系．利用向量夹角公式、数量积运算性质即可得出．

解答 解：如图所示，建立空间直角坐标系．
不妨设AB=1，B（1，1，0），A₁（1，0，2），A（1，0，0），D₁（0，0，2）．
$\overrightarrow{{A}_{1}B}$=（0，1，-2），$\overrightarrow{A{D}_{1}}$=（-1，0，2），
∴$cos＜\overrightarrow{{A}_{1}B}，\overrightarrow{A{D}_{1}}＞$=$\frac{\overrightarrow{{A}_{1}B}•\overrightarrow{A{D}_{1}}}{|\overrightarrow{{A}_{1}B}||\overrightarrow{A{D}_{1}}|}$=$\frac{-4}{\sqrt{5}×\sqrt{5}}$=-$\frac{4}{5}$．
∴异面直线A₁B与AD₁所成角的余弦值为$\frac{4}{5}$．
故选：D．

点评 本题考查了异面直线所成的角、向量夹角公式、数量积运算性质，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于中档题．