Question

8．已知直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ-2cosθ．
（1）求曲线C的参数方程；
（2）当α=$\frac{π}{4}$时，求直线l与曲线C交点的极坐标．

Answer 1

分析 （1）由ρ=2sinθ-2cosθ，可得ρ²=2ρsinθ-2ρcosθ．把$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$，ρ²=x²+y²代入可得：曲线C的直角坐标方程．利用cos²φ+sin²φ=1即可标准曲线C的直角坐标方程化为参数方程．
（2）当α=$\frac{π}{4}$时，直线l的方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$，化成普通方程为y=x+2．与圆的方程联立解出，进而化为极坐标．

解答 解：（1）由ρ=2sinθ-2cosθ，可得ρ²=2ρsinθ-2ρcosθ．
把$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$，ρ²=x²+y²代入可得：曲线C的直角坐标方程为x²+y²=2y-2x，
标准方程为（x+1）²+（y-1）²=2．
曲线C的直角坐标方程化为参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+\sqrt{2}cosφ}\\{y=1+\sqrt{2}sinφ}\end{array}\right.$（φ为参数）．
（2）当α=$\frac{π}{4}$时，直线l的方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$
化成普通方程为y=x+2．

联立$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}=2y-2x}\\{y=x+2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=2}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=0}\end{array}\right.$．
利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$，ρ²=x²+y²可得：直线l与曲线C交点的极坐标分别为（2，$\frac{π}{2}$），（2，π）．

点评 本题考查了极坐标与直角坐标方程的互化、圆的方程的应用、曲线的交点，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．