Question

16．已知四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，PD=AD=1，AB=2，求二面角P-AC-D的平面角的正切．

Answer 1

分析 以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角P-AC-D的平面角的正切值．

解答 解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，
A（1，0，0），C（0，2，0），P（0，0，1），
$\overrightarrow{AP}$=（-1，0，1），$\overrightarrow{AC}$=（-1，2，0），
设平面APC的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AP}=-x+z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=-x+2y=0}\end{array}\right.$，取x=2，得$\overrightarrow{n}$=（2，1，2），
平面ACD的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
设二面角P-AC-D的平面角为θ，
cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{3}$，sinθ=$\sqrt{1-（\frac{2}{3}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
∴tanθ=$\frac{sinθ}{cosθ}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
∴二面角P-AC-D的平面角的正切值为$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题考查二面角的正切值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．