Question

6．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=BB₁=a，直线B₁C与平面ABC成30°角．
（1）求证：平面B₁AC⊥平面ABB₁A₁；
（2）求二面角B-B₁C-A的正切值；
（3）求直线A₁C与平面B₁AC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出BB₁⊥AC，BA⊥AC，从而AC⊥平面ABB₁A₁，由此能证明平面B₁AC⊥平面ABB₁A₁．
（Ⅱ）以A为原点，AC、AB、AA₁所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系A-xyz，利用向是法能求出二面角B-B₁C-A的正切值．
（Ⅲ）由$\overrightarrow{{A}_{1}C}$=（$\sqrt{2}a$，0，-a），$\overrightarrow{{A}_{1}B}$=（0，a，a）是平面B₁AC的一个法向量，利用向量法能求出直线A₁C与平面B₁AC所成角的正弦值．

解答 证明：（Ⅰ）由直三棱柱性质知BB₁⊥平面ABC，
∴BB₁⊥AC，又BA⊥AC，B₁B∩BA=B，
∴AC⊥平面ABB₁A₁，又AC?平面B₁AC，
∴平面B₁AC⊥平面ABB₁A₁．
解：（Ⅱ）以A为原点，AC、AB、AA₁所在直线分别为x，y，z轴，建立如图的空间直角坐标系A-xyz，
∵直线B₁C与平面ABC成30°角，∴∠B₁CB=30°，
∵AB=BB₁=a，∴BC=$\sqrt{3}a$，AC=$\sqrt{2}a$，
则A（0，0，0），B（0，a，0），C（$\sqrt{2}a$，0，0），A₁（0，0，a），B₁（0，a，a），
连结A₁B，则$\overrightarrow{{A}_{1}B}$=（0，a，a）是平面B₁AC的一个法向量，
设$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）为平面BCC₁B₁的一个法向量，
则$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{B{B}_{1}}$=0，$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}$=0，
又$\overrightarrow{B{B}_{1}}$=（0，0，a），$\overrightarrow{BC}$=（$\sqrt{2}a，-a，0$），
∴$\left\{\begin{array}{l}{az=0}\\{\sqrt{2}ax-ay=0}\end{array}\right.$，令x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，$\sqrt{2}$，0），
设二面角B-B₁C-A的大小为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}B}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{{A}_{1}B}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，sinθ=$\sqrt{1-（\frac{\sqrt{3}}{3}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
tanθ=$\frac{sinθ}{cosθ}$=$\frac{\frac{\sqrt{6}}{3}}{\frac{\sqrt{3}}{3}}$=$\sqrt{2}$，
∴二面角B-B₁C-A的正切值为$\sqrt{2}$．
（Ⅲ）∵$\overrightarrow{{A}_{1}C}$=（$\sqrt{2}a$，0，-a），$\overrightarrow{{A}_{1}B}$=（0，a，a）是平面B₁AC的一个法向量，
设直线A₁C与平面B₁AC所成角为α，
则sinα=|cos＜$\overrightarrow{{A}_{1}C}，\overrightarrow{{A}_{1}B}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{{A}_{1}C}•\overrightarrow{{A}_{1}B}|}{|\overrightarrow{{A}_{1}C}|•|\overrightarrow{{A}_{1}B}|}$=$\frac{{a}^{2}}{\sqrt{3}a•\sqrt{2}a}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$．
∴直线A₁C与平面B₁AC所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

点评 本题考查面面垂直的证明，考查二面铁的正切值的求法，考查线面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．