Question

15．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$sinxcosx-cos²x-$\frac{1}{2}$．
（ I）求函数f（x）的单调递增区间；
（II）将函数f（x）的图象各点纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，然后向左平移$\frac{π}{3}$个单位，得函数F（x）的图象．若a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，a+c=4，且F（B）=0，求b的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角恒等变换化简函数f（x），根据三角函数的图象与性质即可求出函数f（x）的单调增区间；
（Ⅱ）根据三角函数的图象平移，得出函数F（x）的解析式，再利用余弦定理和基本不等式，结合三角形的三边关系，即可求出b的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）=$\sqrt{3}$sinxcosx-cos²x-$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$（1+cos2x）-$\frac{1}{2}$=sin（2x-$\frac{π}{6}$）-1，
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
则kπ-$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z，
所以函数f（x）的单调增区间为[kπ-$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{π}{3}$]，k∈Z；
（Ⅱ）函数f（x）的图象各点纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得函数y=sin（x-$\frac{π}{6}$）-1的图象，
再向左平移$\frac{π}{3}$个单位，得函数y=sin（x+$\frac{π}{3}$-$\frac{π}{6}$）-1的图象，
所以函数F（x）=sin（x+$\frac{π}{6}$）-1；
又△ABC中，a+c=4，F（B）=0，
所以$B+\frac{π}{6}=2kπ+\frac{π}{2}，k∈Z$，
所以$B=\frac{π}{3}$；
由余弦定理可知，
b²=a²+c²-2ac•cos$\frac{π}{3}$=a²+c²-ac=（a+c）²-3ac≥16-3•${（\frac{a+c}{2}）}^{2}$=4，
当且仅当a=c=2时取“=”，
所以b≥2；
又b＜a+c=4，
所以b的取值范围是[2，4）．

点评 本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了解三角形的应用问题，是综合性题目．