Question

3．已知长方体A₁B₁C₁D₁-ABCD的外接球的体积为$\frac{32π}{3}$，则该长方体的表面积的最大值为（　　）

• A． 32
• B． 28
• C． 24
• D． 16

Answer 1

分析 设长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的长宽高分别为x，y，z，根据外接球的直径就是长方体对角线，且外接球的体积为$\frac{32π}{3}$，得到x²+y²+z²=16，进而根据基本不等式得到长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的表面积S=2xy+2yz+2zx≤32．

解答 解：设长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的长宽高分别为x，y，z，
∵外接球的直径就是长方体对角线，且外接球的体积为$\frac{32π}{3}$，
∴$\frac{4}{3}π{R}^{3}$=$\frac{32π}{3}$，
∴R=2，
∴长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的外接球的直径为4，
则有x²+y²+z²=16，
则长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的表面积S=2xy+2yz+2zx≤x²+y²+z²+x²+y²+z²=32，
则长方体的表面积的最大值为32，
故选：A．

点评 本题考查的知识点是长方体的表面积，长方体的外接球，球的体积公式，基本不等式，难度中档．