Question

20．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，a₂=3，S_n+1=4S_n-3S_n-1（n≥2），若对于任意n∈N^*，当t∈[-1，1]时，不等式2（${\frac{1}{a_1}$+$\frac{1}{a_2}$+…+$\frac{1}{a_n}}$）＜x²+tx+1恒成立，则实数x的取值范围为（-∞，-2]∪[2，+∞）．

Answer 1

分析 a₁=1，a₂=3，S_n+1=4S_n-3S_n-1（n≥2），可得S_n+1-S_n=3（S_n-S_n-1），因此a_n+1=3a_n，n=1时也成立．利用等比数列的通项公式可得a_n=3^n-1，$\frac{1}{{a}_{n}}$=$（\frac{1}{3}）^{n-1}$，
因此数列$\{\frac{1}{{a}_{n}}\}$是等比数列．利用等比数列的求和公式可得：2（${\frac{1}{a_1}$+$\frac{1}{a_2}$+…+$\frac{1}{a_n}}$）．由对于任意n∈N^*，当t∈[-1，1]时，不等式2（${\frac{1}{a_1}$+$\frac{1}{a_2}$+…+$\frac{1}{a_n}}$）＜x²+tx+1恒成立，可得3≤x²+tx+1，即x²+tx-2≥0，令f（t）=xt+x²-2，利用一次函数的单调性即可得出．

解答 解：∵a₁=1，a₂=3，S_n+1=4S_n-3S_n-1（n≥2），
∴a₁=1，a₂=3，S_n+1-S_n=3（S_n-S_n-1），
∴a_n+1=3a_n，n=1时也成立．
∴数列{a_n}是公比为3的等比数列，首项为1．
∴a_n=3^n-1．
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=$（\frac{1}{3}）^{n-1}$，
因此数列$\{\frac{1}{{a}_{n}}\}$是首项为1，公比为$\frac{1}{3}$的等比数列．
2（${\frac{1}{a_1}$+$\frac{1}{a_2}$+…+$\frac{1}{a_n}}$）=2×$\frac{[1-（\frac{1}{3}）^{n}]}{1-\frac{1}{3}}$=3-$\frac{1}{{3}^{n-1}}$．
∵对于任意n∈N^*，当t∈[-1，1]时，不等式2（${\frac{1}{a_1}$+$\frac{1}{a_2}$+…+$\frac{1}{a_n}}$）＜x²+tx+1恒成立，
∴3≤x²+tx+1，
化为x²+tx-2≥0，
令f（t）=xt+x²-2，
则$\left\{\begin{array}{l}{f（-1）={x}^{2}-x-2≥0}\\{f（1）={x}^{2}+x-2≥0}\end{array}\right.$，解得x≥2或x≤-2，
∴实数x的取值范围为（-∞，-2]∪[2，+∞）．
故答案为：（-∞，-2]∪[2，+∞）．

点评 本题考查了递推关系、等比数列的通项公式与求和公式、恒成立问题的等价转化方法、一次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．