Question

1．在直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立相应极坐标系，已知圆C的极坐标方程为ρ=2$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$），直线L的极坐标方程为ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=4$\sqrt{2}$，
（1）求圆C的参数方程；
（2）若M是圆C的动点，求M到直线L的距离的最小值．

Answer 1

分析 （1）圆C的极坐标方程为C：$ρ=2\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）?{ρ^2}=2ρsinθ+2ρcosθ$，展开把x=ρcosθ，y=ρsinθ，代入即可得出直角坐标方程，利用cos²α+sin²α=1，即可得出参数方程．
（2）L：$ρsin（θ+\frac{π}{4}）=4\sqrt{2}$，即$\frac{{\sqrt{2}}}{2}ρsinθ+\frac{{\sqrt{2}}}{2}ρcosθ=4\sqrt{2}$，把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入可得直线的直角坐标方程，利用点到直线的距离公式可得圆心C到直线L的距离d，即可得出最小值d-r．

解答 解：（1）∵x=ρcosθ，y=ρsinθ，
C：$ρ=2\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）?{ρ^2}=2ρsinθ+2ρcosθ$，
化为普通方程是x²+y²=2y+2x?（x-1）²+（y-1）²=2．
所以圆C的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\sqrt{2}cosα}\\{y=1+\sqrt{2}sinα}\end{array}\right.$（α为参数，0≤α≤2π）．
（2）L：$ρsin（θ+\frac{π}{4}）=4\sqrt{2}$，即$\frac{{\sqrt{2}}}{2}ρsinθ+\frac{{\sqrt{2}}}{2}ρcosθ=4\sqrt{2}$，
∵x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴x+y-8=0．
则圆心C到直线L的距离为：$d=\frac{|1+1-8|}{{\sqrt{{1^2}+{1^2}}}}=3\sqrt{2}$，
∴M到直线L的距离的最小值为：$3\sqrt{2}-\sqrt{2}=2\sqrt{2}$．

点评 本题考查了极坐标与直角坐标方程的互化、圆的方程与直线方程的应用、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．