Question

9．如图，△ABC的外接圆为⊙O，延长CB至Q，再延长QA至P，使得QC²-QA²=BA•QC．
（1）求证：QA为⊙O的切线；
（2）若AC恰好为∠BAP的平分线，AB=6，AC=12，求QA的长度．

Answer 1

分析 （1）由已知可得QC•QB=QA²，即$\frac{QC}{QA}=\frac{QA}{QB}$，可得△QCA∽△QAB，进而∠QAB=QCA，根据弦切角定理的逆定理可得QA为⊙O的切线；
（2）根据弦切角定理可得AC=BC=12，结合（1）中结论，可得QC：QA=AC：AB=12：6，进而得到答案．

解答 证明：（1）∵QC²-QA²=BC•QC，
∴QC（QC-BC）=QA²，即QC•QB=QA²，
于是$\frac{QC}{QA}=\frac{QA}{QB}$，
∴△QCA～△QAB，
∴∠QAB=∠QCA，
根据弦切角定理的逆定理可得QA为⊙O的切线…（5分）
解：（2）∵QA为⊙O的切线，
∴∠PAC=∠ABC，而AC恰好为∠BAP的平分线，
∴∠BAC=∠ABC，于是AC=BC=12，
∴QC²-QA²=12QC，①
又由△QCA～△QAB得QC：QA=AC：AB=12：6，②
联合①②消掉QC，得QA=8…（10分）

点评 本题考查的知识点是弦切角定理及其逆定理，圆的切线的判定与性质，三角形相似的判定与性质，难度中档．