Question

19．如图，AB是⊙O的一条切线，切点为B，ADE，CFD，CGE都是⊙O的割线，已知AC=AB．求证：
（1）AD•AE=AC²；
（2）若FG⊥EC，则$\frac{CF}{CG}$-$\frac{CG}{CF}$=$\frac{DE}{AC}$．

Answer 1

分析 （1）利用切线长与割线长的关系及AB=AC 进行证明．
（2）证明△CAE∽△DAC∽△GCF，得比例式，即可证明结论．

解答 证明：（1）∵AB是⊙O的一条切线，切点为B，ADE，CFD，CGE都是⊙O的割线，
∴AB²=AD•AE，
∵AB=AC，∴AD•AE=AC²．
（2）由（1）有$\frac{AD}{AC}=\frac{AC}{AE}$，
∵∠EAC=∠DAC，
∴△ADC∽△ACE，
∵FG⊥EC，D，E，G，F四点共圆
∴∠ECA=∠CDA=∠CGF=90°，
∵∠CFG=∠CEA
∴△CAE∽△DAC∽△GCF，
∴$\frac{CG}{CF}=\frac{AD}{AC}$，$\frac{CF}{CG}$=$\frac{AE}{AC}$
∴$\frac{CF}{CG}$-$\frac{CG}{CF}$=$\frac{AE}{AC}$-$\frac{AD}{AC}$=$\frac{DE}{AC}$．

点评 本题考查圆的切线、考查三角形相似的判定与性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．