Question

14．关于函数f（x）=（x²-2x）e^x，有以下命题：
①不等式f（x）＜0的解集是{x|0＜x＜2}；  
②$f（-\sqrt{2}）$是极大值，$f（\sqrt{2}）$是极小值；
③f（x）有最小值，没有最大值；  
④f（x）有3个零点．
其中正确的命题个数为（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 令f（x）＜0可解x的范围确定①正确；对函数f（x）进行求导，然后令f'（x）=0求出x，根据f'（x）的正负判断原函数的单调性，求出函数的极值进而可确定②正确；根据函数的单调性可判断函数的取值范围判断③正确，解方程判断④不正确，从而得到答案．

解答 解：由f（x）＜0⇒（x²-2x）e^x＜0⇒x²-2x＜0⇒0＜x＜2，
故①正确；
f′（x）=e^x（x²-2），由f′（x）=0得x=±$\sqrt{2}$，
由f′（x）＞0得x＞$\sqrt{2}$或x＜-$\sqrt{2}$，由f′（x）＜0得-$\sqrt{2}$＜x＜$\sqrt{2}$，
∴f（x）的单调增区间为（-∞，-$\sqrt{2}$），（$\sqrt{2}$，+∞）．单调减区间为（-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$）．
∴f（x）的极小值为f（$\sqrt{2}$），极大值为f（-$\sqrt{2}$），故②正确；
而f（$\sqrt{2}$）=（2-2$\sqrt{2}$）${e}^{\sqrt{2}}$＜0，f（-$\sqrt{2}$）=（2+2$\sqrt{2}$）${e}^{-\sqrt{2}}$＞0，
x＞2时，f（x）＞0恒成立，x＜0时，f（x）＞0恒成立，x→-∞时，f（x）→0，
∴f（x）没有最大值，有最小值，最小值是f（$\sqrt{2}$），∴③正确，
令f（x）=0，解得：x=0或x=2，f（x）有2个零点，④不正确．
故选：C．

点评 本题主要考查函数的极值与其导函数关系，即函数取到极值时导函数一定等于0，但导函数等于0时还要判断原函数的单调性才能确定原函数的极值点．