Question

2．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，E为BC的中点，AB=1，AD=2，PA=2．
（1）证明：DE⊥平面PAE；
（2）求二面角A-PE-B的余弦值．

Answer 1

分析 （1）推导出DE⊥PA，AE⊥DE，由此能证明DE⊥平面PAE．
（2）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A-PE-B的余弦值．

解答 证明：（1）∵PA⊥底面ABCD，DE?平面ABCD，
∴DE⊥PA，
∵底面ABCD为矩形，E为BC的中点，AB=1，AD=2，PA=2，
∴AE=DE=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴AE²+DE²=AD²，∴AE⊥DE，
∵PA∩AE=A，∴DE⊥平面PAE．
解：（2）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），B（1，0，0），E（1，1，0），P（0，0，2），
$\overrightarrow{PA}$=（0，0，-2），$\overrightarrow{PE}$=（1，1，-2），$\overrightarrow{PB}$=（1，0，-2），
设平面PAE的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PA}=-2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PE}=x+y-2z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，0），
设平面PBE的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PB}=a-2c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PE}=a+b-2c=0}\end{array}\right.$，取a=2，得$\overrightarrow{m}$=（2，0，-1），
设二面角A-PE-B的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{\sqrt{2}•\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$．
∴二面角A-PE-B的余弦值为$\frac{\sqrt{10}}{5}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．