Question

10．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC的平分线AD交BC于D，交⊙O于E，连接CO并延长，交AE于G，交AB于F．
（Ⅰ）证明：$\frac{AF}{AB}$=$\frac{FG}{GC}$•$\frac{CD}{BD}$；
（Ⅱ）若AB=3，AC=2，BD=1，求AD的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）过D作DM∥AB，交AC于M，连接BE，证明$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{DC}$，$\frac{AF}{AC}=\frac{EG}{GC}$，即可证明：$\frac{AF}{AB}$=$\frac{FG}{GC}$•$\frac{CD}{BD}$；
（Ⅱ）求出DC，证明△ADC∽△ABE，可得比例线段，即可求AD的长．

解答 （Ⅰ）证明：过D作DM∥AB，交AC于M，连接BE，
∴$\frac{BD}{DC}$=$\frac{AM}{MC}$，∠BAD=∠ADM，
∵∠BAD=∠CAD，
∴∠CAD=∠ADM，
∴AM=MD，
∴$\frac{MD}{AB}=\frac{CM}{AC}$，$\frac{AB}{AC}=\frac{MD}{CM}=\frac{AM}{CM}$，
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{DC}$，
同理$\frac{AF}{AC}=\frac{EG}{GC}$
∴$\frac{AF}{AB}$=$\frac{FG}{GC}$•$\frac{CD}{BD}$；
（Ⅱ）解：∵AD•DE=BD•CD，$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{DC}$，
∴DC=$\frac{2}{3}$，
∵△ADC∽△ABE，
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{AC}{AE}$，
∴AD•AE=AB•AC，
∴AD•（AD+DE）=AB•AC，
∴AD²=AB•AC-AD•DE=AB•AC-BD•DC=3×$2-1×\frac{2}{3}$=$\frac{16}{3}$，
∴AD=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查比例线段，考查三角形相似的判定与性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．