【题目】已知
为椭圆
的左、右顶点，
为其右焦点，
是椭圆上异于
的动点，且
面积的最大值为
.
（1）求椭圆的方程；
（2）直线
与椭圆在点
处的切线交于点
，当点在椭圆上运动时，求证:以 
为直径的圆与直线
恒相切.
【答案】（1）
；（2）证明见解析.
【解析】
试题分析: （1）由题意知知
，由此能求出椭圆
的方程；
（2）设直线
的方程为
，
得
.，由此利用韦达定理、点到直线距离公式、直线与圆相切等知识点结合已知条件能证明当点
在椭圆上运动时，以 
为直径的圆与直线
恒相切．
试题解析：(1)设椭圆
的方程为
,
由题意知解之得
,
故椭圆的方程为.
(2)证明：设直线的方程为.
则点
坐标为
中点
的坐标为
.
由得.
设点的坐标为
，则
.
.
点
坐标为
,
当
时，点的坐标为
,直线
轴，点
的坐标为
.
此时以为直径的圆
与直线相切.
当
时，则直线的斜率
.
直线的方程为
.
点E到直线的距离
.
又因为
.
故以为直径的圆与直线相切.
综上得，当点在椭圆上运动时，以为直径的圆与直径恒相切.
科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】甲、乙两人各掷一个均匀的骰子，观察朝上的面的点数，记事件A：甲得到的点数为2，B：乙得到的点数为奇数.
（1）求
，
，
，判断事件A与B是否相互独立；
（2）求
.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】为迎接
年北京冬季奥运会，普及冬奥知识，某校开展了“冰雪答题王”冬奥知识竞赛活动．现从参加冬奥知识竞赛活动的学生中随机抽取了
名学生，将他们的比赛成绩（满分为分）分为
组：
，
，
，
，
，
，得到如图所示的频率分布直方图．
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）记
表示事件“从参加冬奥知识竞赛活动的学生中随机抽取一名学生，该学生的比赛成绩不低于
分”，估计的概率；
（Ⅲ）在抽取的名学生中，规定：比赛成绩不低于分为“优秀”，比赛成绩低于分为“非优秀”．请将下面的
列联表补充完整，并判断是否有
的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关”？
优秀 | 非优秀 | 合计 | |
男生 |
| ||
女生 |
| ||
合计 |
|
参考公式及数据：
，
．
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【题目】某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]
（Ⅰ）求图中
的值，并估计该班期中考试数学成绩的众数；
（Ⅱ）从成绩不低于90分的学生和成绩低于50分的学生中随机选取2人，求这2人成绩均不低于90分的概率．
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口的O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇．
（I）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？
（II）为保证小艇在30分钟内（含30分钟）能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值．
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】某县共有90间农村淘宝服务站，随机抽取5间，统计元旦期间的网购金额(单位：万元)的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数.
（1）根据茎叶图计算样本均值；
（2）若网购金额(单位：万元)不小于18的服务站定义为优秀服务站，其余为非优秀服务站.根据茎叶图推断90间服务站中有几间优秀服务站？
（3）从随机抽取的5间服务站中再任取2间作网购商品的调查，求恰有1间是优秀服务站的概率.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】[选修4—4：坐标系与参数方程]
以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l的参数方程是
(t为参数)，圆C的极坐标方程是ρ＝4cos θ，求直线l被圆C截得的弦长．
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