Question

6．钝角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且有（$\sqrt{2}$a-c）•cosB=bcosC．
（1）求角B的大小；
（2）设向量$\overrightarrow{m}$=（cos2A+1，cosA），$\overrightarrow{n}$=（1，-$\frac{8}{5}$），且$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$，求tanC的值．

Answer 1

分析 （1）由题意和正弦定理，以及和差角的三角函数公式可得cosB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，B=45°；
（2）由数量积和向量的垂直关系可得cosA=$\frac{4}{5}$，进而可得tanA和tanB，代入tanC=-tan（A+B）=-$\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}$，计算可得．

解答 解：（1）∵钝角△ABC中（$\sqrt{2}$a-c）•cosB=bcosC，
∴由正弦定理可得（$\sqrt{2}$sinA-sinC）•cosB=sinBcosC，
整理可得$\sqrt{2}$sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin（B+C）=sinA，
同除以sinA可得cosB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，B=45°；
（2）∵向量$\overrightarrow{m}$=（cos2A+1，cosA），$\overrightarrow{n}$=（1，-$\frac{8}{5}$），且$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$，
∴$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=cos2A+1-$\frac{8}{5}$cosA=2cos²A-$\frac{8}{5}$cosA=0，
∵cosA≠0，故cosA=$\frac{4}{5}$，sinA=$\frac{3}{5}$，
∴tanA=$\frac{3}{4}$，tanB=1，
∴tanC=-tan（A+B）=-$\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}$=-7

点评 本题考查解三角形，涉及正弦定理和向量的知识，属中档题．