Question

11．已知△ABC的面积S和三边a，b，c满足：S=a²-（b-c）²，b+c=6，则△ABC的面积S的最大值为$\frac{36}{17}$．

Answer 1

分析 由题意和面积公式以及同角三角函数基本关系可得sinA，进而可得面积S，由基本不等式可得．

解答 解：∵△ABC的面积S和三边a，b，c满足：S=a²-（b-c）²，b+c=6，
∴由面积公式和余弦定理可得S=a²-b²-c²+2bc=$\frac{1}{2}$bcsinA，
∴-2bccosA+2bc=$\frac{1}{2}$bcsinA，∴-2cosA+2=$\frac{1}{2}$sinA，
结合cos²A+sin²A=1可解得sinA=$\frac{8}{17}$，cosA=$\frac{15}{17}$，
∴S=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{4}{17}$bc≤$\frac{4}{17}$（$\frac{b+c}{2}$）²=$\frac{36}{17}$，
当且仅当b=c=3时取等号．
故答案为：$\frac{36}{17}$．

点评 本题考查解三角形，涉及余弦定理和三角形的面积公式以及基本不等式求最值，属中档题．