Question

16．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且sin2A=sinC-sin（A-B），C为钝角．
（1）求证：△ABC为等腰三角形；
（2）若a=1，△ABC的面积为$\frac{\sqrt{3}}{4}$，求边c的大小．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角公式及两角和与差的正弦函数公式可得2sinAcosA=2cosAsinB，由C为钝角，可得A，B为锐角，cosA≠0，可得sinA=sinB，进而解得A=B，从而得证．
（2）由（1）可得：a=b=1，由三角形面积公式可求sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，结合C为钝角，可得cosC=-$\frac{1}{2}$，利用余弦定理即可得解．

解答 解：（1）证明：∵sin2A=sinC-sin（A-B），
∴2sinAcosA=sin（A+B）-sin（A-B）=sinAcosB+cosAsinB-sinAcosB+cosAsinB=2cosAsinB，
即：2sinAcosA=2cosAsinB，
∵C为钝角．
∴A，B为锐角，cosA≠0，
∴sinA=sinB，可得A=B．得证．
（2）∵a=1，由（1）可得：b=1，
∴△ABC的面积$\frac{\sqrt{3}}{4}$=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}×1×1×sinC$，解得：sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴C为钝角，cosC=-$\frac{1}{2}$，
∴c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}-2abcosC}$=$\sqrt{1+1-2×1×1×（-\frac{1}{2}）}$=$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了二倍角公式及两角和与差的正弦函数公式，三角形面积公式及余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．