Question

7．已知函数f（x）=sin²x-2msinx+m²-1（m∈R）
（1）当m=$\frac{1}{2}$时，求函数f（x）的单调递增区间；
（2）已知g（x）=cos²x-2$\sqrt{3}$mcosx，若f（x）+g（x）=0在[0，2π）上有两相异实数根α，β，且cos（α-β）=$\frac{1}{4}$，求m的值．

Answer 1

分析 （1）当m=$\frac{1}{2}$时，可求f（x）=（sinx-$\frac{1}{2}$）²-1，可得$\frac{1}{2}≤$sinx≤1，利用正弦函数的图象和性质及复合函数的单调性即可得解函数f（x）的单调递增区间．
（2）由题意可得f（x）+g（x）=0在[0，2π）上有两相异实数根α，β，即sin（x+$\frac{π}{3}$）-$\frac{m}{4}$=0在[$\frac{π}{3}$，$\frac{7π}{3}$）上有两相异实数根α，β，则α+β=$\frac{3π}{2}$，可求$\frac{2π}{3}$＜α＜$\frac{3π}{2}$，$\frac{4π}{3}$＜2α＜3π，由cos（α-β）=$\frac{1}{4}$，可得：sin2α=-$\frac{1}{4}$＜0，从而解得范围：$\frac{2π}{3}$＜α＜π，由sin2α=-$\frac{1}{4}$，解得sinα，cosα的值，利用两角和的正弦函数公式即可求得m的值．

解答 解：（1）∵当m=$\frac{1}{2}$时，f（x）=sin²x-sinx-$\frac{3}{4}$=（sinx-$\frac{1}{2}$）²-1，
∴当$\frac{1}{2}≤$sinx≤1时，函数f（x）单调递增，
∴利用正弦函数的图象和性质及复合函数的单调性可得函数f（x）的单调递增区间为：[2k$π+\frac{π}{6}$，2kπ+$\frac{π}{2}$]，k∈Z．
（2）∵f（x）+g（x）=0，
∴可得：sin²x-2msinx+m²-1+cos²x-2$\sqrt{3}$mcosx=0，整理可得：m=2sinx+2$\sqrt{3}$cosx=4sin（x+$\frac{π}{3}$），
∵x∈[0，2π），x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{7π}{3}$），
∵f（x）+g（x）=0在[0，2π）上有两相异实数根α，β，即sin（x+$\frac{π}{3}$）-$\frac{m}{4}$=0在[$\frac{π}{3}$，$\frac{7π}{3}$）上有两相异实数根α，β，
则α+β=$\frac{3π}{2}$，$\frac{2π}{3}$＜α＜$\frac{3π}{2}$，$\frac{4π}{3}$＜2α＜3π．
∵cos（α-β）=cos[α-（$\frac{3π}{2}$-α）]=-sin2α=$\frac{1}{4}$，可得：sin2α=-$\frac{1}{4}$＜0，
∴$\frac{4π}{3}$＜2α＜2π，解得：$\frac{2π}{3}$＜α＜π，sinα＞0，cosα＜0，
∴由sin2α=-$\frac{1}{4}$，解得：sinα+cosα=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，sinα-cosα=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，解得：sinα=$\frac{\sqrt{3}+\sqrt{5}}{4}$，cosα=$\frac{\sqrt{3}-\sqrt{5}}{4}$，
∴m=2sinx+2$\sqrt{3}$cosx=2×$\frac{\sqrt{3}+\sqrt{5}}{4}$+2$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}-\sqrt{5}}{4}$=$\frac{\sqrt{3}+\sqrt{5}+3-\sqrt{15}}{2}$．

点评 本题重点考查了三角函数的图象与性质及其运用，三角函数中的恒等变换应用，考查函数与方程的综合运用，考查了数形结合思想和计算能力，属于中档题．