Question

6．三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱垂直于底面，且AB⊥BC，AB=BC=AA₁=2，若该三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（　　）

• A． 48π
• B． 32π
• C． 12π
• D． 8π

Answer 1

分析 以AB，BC，AA₁为棱构造一个正方体，则该三棱柱的所有顶点都在该正方体的外接球上，由此能求出该球的表面积．

解答 解：∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱垂直于底面，且AB⊥BC，AB=BC=AA₁=2，
∴以AB，BC，AA₁为棱构造一个正方体，
则该三棱柱的所有顶点都在该正方体的外接球上，
该球的半径R=$\frac{\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}+{2}^{2}}}{2}$=$\sqrt{3}$，
∴该球的表面积为S=4πR²=4π×3=12π．
故选：C．

点评 本题考查球的表面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意球、三棱柱的性质及构造法的合理应用．