Question

已知点A，B的坐标分别是（0，-1），（0，1），直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积-

1

2

．
（1）求点M轨迹C的方程；
（2）若过点D（2，0）的直线l与（1）中的轨迹C交于不同的两点D、F（E在D、F之间），试求△ODE与△ODF面积之比的取值范围（O为坐标原点）．

Answer 1

分析：（1）设M（x，y），∵kAM•kBM=-

1

2

，∴

y+1

x

•

y-1

x

=-

1

2

，整理后就得到动点M的轨迹方程．
（2）设l的方程为y=k(x-2)(k≠±

1

2

)…①，将①代入

x2

2

+y2=1，解得0＜k2＜

1

2

，设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），则

x1+x2= 8k2 2k2+1 x1x2= 8k2-2 2k2+1

…②，令λ=

S△OBE

S△OEF

，则λ=

|BE|

|BF|

，即

BE

=λ•

BF

，即x1-2=λ(x2-2)，且0＜λ＜1．由此可求出△ODE与△ODF面积之比的取值范围是(3-2

2

，

1

3

)∪ (

1

3

，1)．

解答：解：（1）设M（x，y），∵kAM•kBM=-

1

2

，∴

y+1

x

•

y-1

x

=-

1

2

，
整理得动点M的轨迹方程为

x2

2

+y2=1(x≠0)．
（2）由题意知直线l的斜率存在，设l的方程为y=k(x-2)(k≠±

1

2

)…①
将①代入

x2

2

+y2=1，得l的方程为（2k²+1）x²-8k²x+（8k²-2）=0，由△＞0，解得0＜k2＜

1

2

．
设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），则

x1+x2= 8k2 2k2+1 x1x2= 8k2-2 2k2+1

…②
令λ=

S△ODE

S△ODF

，则λ=

|DE|

|DF|

，即

DE

=λ•

DF

，即x1-2=λ(x2-2)，且0＜λ＜1．
由②得，

(x1-2)+(x2-2)= -4 2k2+1 (x1-2)(x2-2)=x1x2-2(x1+x2)+4= 2 2k2+1

，
∴

λ

(1+λ)2

=

2k2+1

8

，即k2=

4λ

2k2+1

-

1

2

∵0＜k2＜

1

2

，且k2≠

1

4

，∴0＜

4λ

(1+λ)2

-

1

2

＜

1

2

，且

4λ

(1+λ)2

-

1

2

≠

1

4

．
解得3-2

2

＜λ＜3+2

2

，且λ≠

1

3

，∵0＜λ＜1，∴3-2

2

＜λ＜1且λ≠

1

3

．
∴△OBE与△OBF面积之比的取值范围是(3-2

2

，

1

3

)∪(

1

3

，1)．

点评：本题综合考查椭圆的性质及其应用，难度较大．在解题时要认真审题，仔细解答．