Question

（本题满分12分）设函数f(x)＝x³－ax²＋3x＋5(a＞0)．
(1)已知f(x)在R上是单调函数，求a的取值范围；
(2)若a＝2，且当x∈[1,2]时，f(x)≤m恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

(1) 0＜a≤6 ；(2) [15，＋∞)．

解析试题分析：(1)f′(x)＝3x²－ax＋3，              2分
其判别式Δ＝a²－36.
当0＜a≤6时，f′(x)≥0恒成立，                4分
此时f(x)在R上为增函数．                       6分
(2)a＝2时，f′(x)＝3x²－2x＋3＞0恒成立，
因此f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，                8分
从而f(x)在[1,2]上递增，则f(x)_max＝f(2)＝15，        10分
要使f(x)≤m在x∈[1,2]上恒成立，只需15≤m，
解得m∈[15，＋∞)．
故m的取值范围是[15，＋∞)．                      12分
考点：利用导数研究函数的单调性。
点评：解决恒成立问题常用变量分离法，变量分离法主要通过两个基本思想解决恒成立问题， 思路1：在上恒成立；思路2: 在上恒成立。