Question

在直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为

x=2cosα y=3sinα

（α为参数）．M是C₁上的动点，N点满足

ON

=2

OM

，N点的轨迹为曲线C₂
（1）求C₂的方程；
（2）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程式ρ=2，正三角形ABC的顶点都在C₂上，且A，B，C依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，

π

6

），设P是C₂上任意一点，求|PA|²+|PB|²+|PC|²的取值范围．

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（1）设点N的坐标为（x，y），根据题意，用x、y表示出点M的坐标，然后根据M是C₁上的动点，代入求出C₂的参数方程即可；
（2）分别求出A、B、C三点的坐标，设P（4cosα，6sinα），令S=|PA|²+|PB|²+|PC|²，表示出S，求出S的取值范围即可．

解答：解：（1）设点N的坐标为（x，y），
则由

ON

=2

OM

，可得点M的坐标为（

x

2

，

y

2

），
根据M是C₁上的动点，可得

x 2 =2cosα y 2 =3sinα

，
故C₂的参数方程为

x=4cosα y=6sinα

 （α为参数）；
（2）由已知可得A（2cos

π

6

，2sin

π

6

），B(2cos(

π

6

+

2π

3

)，2sin(

π

6

+

2π

3

))，
C(2cos(

π

6

+

4π

3

)，2sin(

π

6

+

4π

3

))，
即A（

3

，1），B（-

3

，1），C（0，-2）；
设P（4cosα，6sinα），令S=|PA|²+|PB|²+|PC|²，
则S=60+60sin²α，
因为0≤sin²α≤1，
所以S的取值范围是[60，120]，
即|PA|²+|PB|²+|PC|²的取值范围是[60，120]．

点评：本题主要考查了轨迹方程的求解，考查代入法，属于中档题．