Question

（2012•三明模拟）已知F₁、F₂分别是椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点，M、N分别是直线l：

x

a

+

y

b

=m（m是大于零的常数）与x轴、y轴的交点，线段MN的中点P在椭圆C上．
（Ⅰ）求常数m的值；
（Ⅱ）试探究直线l与椭圆C是否还存在异于点P的其它公共点？请说明理由；
（Ⅲ）当a=2时，试求△PF₁F₂面积的最大值，并求△PF₁F₂面积取得最大值时椭圆C的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知可得M（ma，0）、N（0，mb），从而可得MN的中点为P的坐标，利用点P在椭圆C上，即可求常数m的值；
（Ⅱ）（解法一）由（Ⅰ）得l：

x

a

+

y

b

=

2

，与方程C联立消元，由此可得直线l与椭圆C相切时切点的坐标；
（解法二）由（Ⅰ）得l：

x

a

+

y

b

=

2

，与方程C联立，可得

x a + y b = 2 x a • y b = 1 2

，从而

x

a

和

y

b

是方程x2-

2

x+

1

2

=0的两根，由此可得直线l与椭圆C的公共点是唯一的点P；
（Ⅲ）当a=2时，表示△PF₁F₂面积，利用基本不等式，可求△PF₁F₂面积的最大值，从而可得椭圆C的方程．

解答：解：（Ⅰ）由已知可得M（ma，0）、N（0，mb），
故MN的中点为P(

ma

2

，

mb

2

)，
又点P在椭圆C上，∴

m2

4

+

m2

4

=1，所以m=

2

．-------（4分）
（Ⅱ）（解法一）由（Ⅰ）得l：

x

a

+

y

b

=

2

，
与方程C联立得：2b2x2-2

2

ab2x+a2b2=0，
即2x2-2

2

ax+a2=0，
由于△=(2

2

a)2-4×2×a2=0，
∴此方程有两个相等实根x=

2 a

2

，
故直线l与椭圆C相切，切点为P(

2 a

2

，

2 b

2

)，
除此之外，不存在其他公共点．---------------------（8分）
（解法二）由（Ⅰ）得l：

x

a

+

y

b

=

2

，与方程C联立得：

x a + y b = 2 x2 a2 + y2 b2 =1

所以

x2 a2 + y2 b2 +2 x a • y b =2 x2 a2 + y2 b2 =1

，则

x a + y b = 2 x a • y b = 1 2

∴

x

a

和

y

b

是方程x2-

2

x+

1

2

=0的两根，
又△=(

2

)2-4×

1

2

=0，∴此方程有两个相等实根，即

x

a

=

y

b

=

2

2

，
∴直线l与椭圆C的公共点是唯一的点P(

2

2

a，

2

2

b)，
即除点P以外，不存在其他公共点．--------------（8分）
（Ⅲ）当a=2时，S△PF1F2=

1

2

|F1F2|•

2

2

b=

2

2

cb，
所以S△PF1F2≤

2

2

×

b2+c2

2

=

2

4

a2=

2

，
当且仅当b=c=

2

时，等式成立，故(S△PF1F2)max=

2

此时，椭圆C的方程为：

x2

4

+

y2

2

=1．-------------------------（14分）

点评：本题考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，考查基本不等式的运用，联立直线与椭圆方程是关键．