Question

【题目】已知函数f（x）=x2﹣ax﹣aln（x﹣1）（a∈R）
（1）当a=1时，求函数f（x）的最值；
（2）求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

【答案】
（1）解：函数f（x）=x2﹣ax﹣aln（x﹣1）（a∈R）的定义域是（1，+∞）

当a=1时，f（x）=x2﹣x﹣ln（x﹣1），

，

当x∈ 时，f′（x）＜0，

所以f （x）在 为减函数．

当x∈ 时，f′（x）＞0，

所以f （x）在 为增函数，

则当x= 时，f（x）有极小值，也就是最小值．

所以函数f （x）的最小值为 =

（2）解： ，

若a≤0时，则 ，f（x）= ＞0在（1，+∞）恒成立，

所以f（x）的增区间为（1，+∞）．

若a＞0，则 ，故当 ，f′（x）= ≤0，

当 时，f（x）= ≥0，

所以a＞0时f（x）的减区间为 ，f（x）的增区间为

【解析】（1）首先求出函数的定义域，把a=1代入函数解析式后，求出函数的导函数，由导函数等于0求出函数的极值点，结合定义域可得函数在定义域内取得最值的情况，从而求出函数的最值．（2）把原函数求导后，对参数a进行分类，根据a的不同取值得到导函数在不同区间内的符号，从而得到原函数的单调区间．