Question

8．双曲线$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的离心率为$\sqrt{10}$，则其渐近线方程为（　　）

• A． y=±3x
• B． $y=±\frac{1}{2}x$
• C． y=±2x
• D． $y=±\frac{1}{3}x$

Answer 1

分析 根据题意，由双曲线的离心率公式可得e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{10}$，变形可得e²=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{{a}^{2}}$=1+$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=10，解可得$\frac{b}{a}$的值，进而由双曲线的方程可得其渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，将$\frac{b}{a}$的值代入即可得答案．

解答 解：根据题意，双曲线$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的离心率为$\sqrt{10}$，
则有e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{10}$，即e²=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{{a}^{2}}$=1+$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=10，
解可得$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=9，即$\frac{b}{a}$=3，
又由双曲线$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}$=1的焦点在x轴上，其渐近线方程为：y=±$\frac{b}{a}$x，
则该双曲线的渐近线方程为y=±3x，
故选：A．

点评 本题考查双曲线的几何性质，注意双曲线的离心率与渐近线斜率的关系．