Question

20．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的一个焦点与${y^2}=4\sqrt{3}x$的焦点重合，点$（\sqrt{3}，\frac{1}{2}）$在椭圆C上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆交于P，Q两点，且以PQ为对角线的菱形的一顶点为（-1，0），若$|PQ|=\frac{{2\sqrt{6}}}{3}$，求k的值．

Answer 1

分析 （1）由抛物线的方程，求得焦点坐标，即可求得c，将点代入椭圆方程，即可求得a和b的值，即可求得椭圆的方程；
（2）将直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，中点坐标及$\frac{{{y_0}-0}}{{{x_0}+1}}=-\frac{1}{k}$，则3km=1+4k²，求得丨PQ丨，$|PQ|=\frac{{2\sqrt{6}}}{3}$，即可求得k的值．

解答 解：（1）抛物线${y^2}=4\sqrt{3}x$的焦点为$（\sqrt{3}，0）$，故得$c=\sqrt{3}$，
所以a²=b²+3，因点$（\sqrt{3}，\frac{1}{2}）$在椭圆C上，
∴$\frac{3}{a^2}+\frac{1}{{4{b^2}}}=1$，解得a²=4，b²=1，
∴椭圆C的方程为$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$；
（2）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）的中点为（x₀，y₀），
将直线y=kx+m（k≠0）代入$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$，得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，
∴△=16（1+4k²-m²）＞0，则${x_0}=\frac{1}{2}（{x_1}+{x_2}）=-\frac{4km}{{1+4{k^2}}}$，${y_0}=\frac{1}{2}（{y_1}+{y_2}）=-\frac{m}{{1+4{k^2}}}$，
因为（-1，0）是以PQ为对角线的菱形的一顶点，且不在椭圆上，
所以$\frac{{{y_0}-0}}{{{x_0}+1}}=-\frac{1}{k}$，即3km=1+4k²，解得${k^2}＞\frac{1}{5}$，则$|PQ|=\frac{{\sqrt{1+{k^2}}•\sqrt{16（1+4{k^2}-{m^2}）}}}{{1+4{k^2}}}$，
由$\frac{{\sqrt{1+{k^2}}•\sqrt{16（1+4{k^2}-{m^2}）}}}{{1+4{k^2}}}=\frac{{2\sqrt{6}}}{3}$及3km=1+4k²，解得k²=2或$\frac{1}{2}$，均满足${k^2}＞\frac{1}{5}$，
∴$k=±\sqrt{2}$或$±\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．

点评 本题考查椭圆的标准方程，抛物线的性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，中点坐标公式，考查弦长公式的应用，考查计算能力，属于中档题．