Question

19．已知直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+t}\\{y=1+2t}\end{array}\right.$（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立直角坐标系，曲线C的极坐标方程是ρ²=$\frac{4}{1+3si{n}^{2}θ}$．
（Ⅰ）写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）求直线l被曲线C截得的弦长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直线l的参数方程消去参数t，能求出直线l的普通方程，由ρ²=x²+y²，y=ρsinθ，能求出曲线C的直角坐标方程．
（Ⅱ）设直线l被曲线C截得的弦为AB，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立$\left\{\begin{array}{l}{2x-y-1=0}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，求出A、B的坐标，由此能求出|AB|．

解答 解：（Ⅰ）∵直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+t}\\{y=1+2t}\end{array}\right.$（t为参数），
∴消去参数t，得直线l的普通方程为2x-y-1=0．
∵曲线C的极坐标方程是ρ²=$\frac{4}{1+3si{n}^{2}θ}$，
∴由ρ²=x²+y²，y=ρsinθ，得曲线C的直角坐标方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．
（Ⅱ）设直线l被曲线C截得的弦为AB，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则$\left\{\begin{array}{l}{2x-y-1=0}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=-1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{16}{17}}\\{y=\frac{15}{17}}\end{array}\right.$，
∴|AB|=$\sqrt{（\frac{16}{17}+0）^{2}+（\frac{15}{17}+1）^{2}}$=$\frac{16\sqrt{5}}{17}$．

点评 本题考查直线的普通方程和曲线的直角坐标方程的求法，考查线段长的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．