Question

在正四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁中，底面边长为2,侧棱长为3,E、F分别是AB₁、CB₁的中点，求证：平面D₁EF⊥平面AB₁C.

Answer 1

证明：把正四棱柱放置在坐标系中，则各点坐标为A(,0,0),C(0, ,0),B₁(, , ),D₁(0,0,),E(, ,),F(,,).假设平面AB₁C的法向量为n₁=(1,λ₁,μ₁),则n₁应垂直于和.而=(-,,0),=(0, ,),

∴n₁·=-+λ₁=0及n₁·=λ₁+μ₁=0.

∴λ₁=1,μ₁=-.

∴n₁=(1,1,- ).

再假设平面D₁EF的法向量为n₂=(1,λ₂,μ₂),则n₂应垂直于、.而=(,  ,-), =(,,-),

∴n₂·=+λ₂-μ₂=0,n₂·=+λ₂-μ₂=0.

∴λ₂=1,μ₂=.

∴n₂=(1,1, ).

由于n₁·n₂=1+1-·6=1+1-2=0,

∴n₁⊥n₂.因此平面D₁EF⊥平面AB₁C.