Question

已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=x²+4x+1．
（Ⅰ）求当x≤0时，f（x）的表达式；
（Ⅱ）求满足不等式f（x²-2）＜f（x）的x的取值范围．

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）根据函数的奇偶性性即可求出当x≤0时，f（x）的表达式；
（Ⅱ）根据函数的奇偶性和单调性之间的关系将不等式f（x²-2）＜f（x）进行转化即可求x的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）当x＜0时，-x＞0，f（-x）=x²-4x+1，…（2分）
又f（x）为奇函数，∴f（x）=-f（-x），…（4分）
即f（x）=-x²+4x-1．…（5分）
又f（-0）=-f（0），即f（0）=0，…（6分）
故当x≤0时，f(x)=

-x2+4x-1，x＜0 0，               x=0.

．…（7分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）在R上是增函数，…（9分）
∴f（x²-2）＜f（x）?x²-2＜x，…（10分）
即x²-x-2＜0…（11分）
解得-1＜x＜2．…（13分）

点评：本题主要考查奇偶性的应用以及不等式的求解，根据奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键．