Question

设函数f（x）=（x²+ax-2a-3）e^3-x
（1）求f（x）的单调区间；
（2）设a＞0，g（x）=（a²+8）e^x，确定f（x）与g（x）在[0，4]上值域；
（3）若存在x₁，x₂∈[0，4]，使得|f（x₁）-g（x₂）|＜3成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先根据导数乘法的运算法则求出函数的导函数，然后讨论f'（x）=0时两根大小，然后分别解不等式f'（x）＜0与f'（x）＞0，从而求出函数的单调区间；
（2）由（1）知，当a＞0时，f（x）在区间[0，4]上的单调性，从而求出函数f（x）在区间[0，4]上的值域，根据g（x）在[0，4]上单调递增，可求出g（x）在[0，4]的值域；
（3）若F∩G≠∅，则一定存在x₁，x₂∈[0，4]使得|f（x₁）-g（x₂）|＜3成立，若F∩G=∅，则只要|f_max（x）-g_min（x）|＜3或|g_max（x）-f_min（x）|＜3，建立关于a的不等关系，解之即可．

解答：解：（1）f'（x）=-[x²+（a-2）x-3a-3]e^3-x=-（x-3）（x+a+1）e^3-x
当a＜-4时，f'（x）＜0⇒x＜3或x＞-a-1，f'（x）＞0⇒3＜x＜-a-1．
∴f（x）单调减区间为（-∞，3），（-a-1，+∞），单调增区间为（3，-a-1）．
当a＞-4时，f'（x）＜0⇒x＞3或x＜-a-1，f'（x）＞0⇒-a-1＜x＜3．
∴f（x）单调减区间为（-∞，-a-1），（3，+∞），单调增区间为（-a-1，3）．
当a=-4时，f'（x）≤0，f（x）单调减区间为，（-∞，+∞）．
（2）由（1）知，当a＞0时，f（x）在区间（0，3）上的单调递增，
在区间（3，4）上单调递减，而f（0）=-（2a+3）e³，f（4）=（2a+13）e^-1，f（3）=a+6．
那么f（x）在区间[0，4]上的值域是F=[-（2a+3）e³，a+6]
g（x）在[0，4]的值域为G=[a²+8，（a²+8）e⁴]，
（3）若F∩G≠∅，则一定存在x₁，x₂∈[0，4]使得|f（x₁）-g（x₂）|＜3成立．
若F∩G=∅，则只要|f_max（x）-g_min（x）|＜3或|g_max（x）-f_min（x）|＜3，
由于（a²+8）e⁴＞a²+8＞a+6＞-（2a+3）e³．
所以，

a2+8-(a+6)＜3 a＞0

．
解得：0＜a＜

1+ 5

2

．

点评：本题主要考查了利用导数求闭区间上函数的最值，以及利用导数研究函数的单调性，同时考查了分类讨论的数学思想，属于中档题．