Question

1．如图，边长为2的正方形ABCD绕AB边所在直线旋转一定的角度（小于180°）到ABEF的位置．
（1）若∠CBE=120°，求三棱锥B-ADF的外接球的表面积；
（2）若K为线段BE上异于B，E的点，CE=2$\sqrt{2}$．设直线AK与平面BDF所成角为φ，当30°≤φ≤45°时，求BK的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出外接球的半径，利用取得面积公式求解即可．
（2）证明BE⊥平面ABCD．=以B为原点，BC、BA、BE的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，求出相关点的坐标，求出平面BDF的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）．推出sinφ=$\left|\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AK}}{\left|\overrightarrow{n}\right|•\left|\overrightarrow{AK}\right|}\right|$=$\frac{|2+m|}{\sqrt{3}•\sqrt{4+{m}^{2}}}$，结合$\frac{1}{2}≤$sinφ$≤\frac{\sqrt{2}}{2}$，即求出BK的取值范围．

解答 解：（1）三棱锥B-ADF的外接球就是三棱柱DFA-CEB的外接球，球的半径为R，R=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
外接球的表面积为：4πR²=20π．
（2）解：∵BE=BC=2，CE=2$\sqrt{2}$，∴CE²=BC²+BE²，
∴△BCE为直角三角形，BE⊥BC，…（2分）
又BE⊥BA，BC∩BA=B，BC、BA?平面ABCD，
∴BE⊥平面ABCD． …（6分）
以B为原点，BC、BA、BE的方向分别
为x轴、y轴、z轴的正方向，
建立空间直角坐标系，则B（0，0，0），F（0，2，2），A（0，2，0），$\overrightarrow{BD}$=（2，2，0），$\overrightarrow{BF}=（0，2，2）$．
设K（0，0，m），平面BDF的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）．
由$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BD}=0$，$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BF}=0$，得$\left\{\begin{array}{l}2x+2y=0\\ 2y+2z=0\end{array}\right.$，可取$\overrightarrow{n}=（1，-1，0）$，…（10分）
又$\overrightarrow{AK}$=（0，-2，m），于是sinφ=$\left|\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AK}}{\left|\overrightarrow{n}\right|•\left|\overrightarrow{AK}\right|}\right|$=$\frac{|2+m|}{\sqrt{3}•\sqrt{4+{m}^{2}}}$，
∵30°≤φ≤45°，∴$\frac{1}{2}≤$sinφ$≤\frac{\sqrt{2}}{2}$，即$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}≤\frac{|2+m|}{\sqrt{3}•\sqrt{4+{m}^{2}}}\\ \frac{|2+m|}{\sqrt{3}•\sqrt{4+{m}^{2}}}≤\frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right.$…（11分）
结合0＜m＜2，解得$0＜m≤4-2\sqrt{3}$，即BK的取值范围为（0，$4-2\sqrt{3}$]．…（12分）

点评 本题考查几何体的外接球的表面积的求法，直线与平面所成角的求法与应用，考查空间想象能力以及计算能力，