Question

设数列{b_n}{P_n}满足b₁=3，b_n=3ⁿP_n，且P_n+1=P_n+

n

3n+1

（n∈N^*）．
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）若存在实数t，使得数列C_n=（b_n-

1

4

）•

t

n+1

+n成等差数列，记数列{C_n•（

1

2

）^C_n}的前n项和为Tn，证明：3ⁿ•（T_n-1）＜b_n；
（3）设A_n=

1

n(n+1)

T_n，数列{A_n}的前n项和为S_n，求证S_n＜

5

2

．

Answer 1

分析：（1）由P_n+1=P_n+

n

3n+1

（n∈N^*），利用叠加法得P_n=P₁+（P₂-P₁）+（P₃-P₂）+…+（P_n-P_n-1）=1+

1

32

+

2

32

+…+

n-1

3n

，从而有3Pn=3+

1

3

+

2

33

+

3

33

+…+

n-1

3n-1

，上述两式错位相减，可得Pn=

5

4

-

2n+1

4•3n

，从而求得数列{b_n}的通项公式；
（2）由题意得，Tn=

1

2

+

2

22

+

3

33

+…+

n

2n

，再使用错位相减法求得Tn=2-

n+2

2n

，从而可以证明；
（3）将A_n=

1

n(n+1)

T_n，化简，再进行分组可得(

2

1

-

2

2

+

2

2

-

2

3

+

2

3

-

2

4

+…+

2

n

-

2

n+1

)-(

1

1•2

-

1

2•22

+

1

2•22

-

1

3•23

+…+

1

n2n

-

1

(n+1)2n+1

)，进而分别求和，利用放缩法可以证得．

解答：解：（1）由已知得P1=

b1

3

=1， Pn+1-Pn=

n

3n+1

，
∴P_n=P₁+（P₂-P₁）+（P₃-P₂）+…+（P_n-P_n-1）=1+

1

32

+

2

32

+…+

n-1

3n

，
∴3Pn=3+

1

3

+

2

33

+

3

33

+…+

n-1

3n-1

上述两式错位相减得：Pn=

5

4

-

2n+1

4•3n

∴bn=3nPn=

5

4

•3n-

2n+1

4

（2）∵Cn=(bn-

1

4

)•

t

n+1

+n=(

5

4

•3n-

n+1

2

)•

t

n+1

+n=

5t•3n

4(n+1)

+n-

t

2

，
∴当且仅当t=0时，数列C_n成等差数列，此时C_n=n（n∈N⁺）
∴Tn=

1

2

+

2

22

+

3

33

+…+

n

2n

∴2Tn=1+

2

2

+

3

22

+…+

n

2n-1

错位相减得：Tn=2-

n+2

2n

∵

bn

3n

=Pn=

5

4

-

2n+1

4•3n

=

5

4

-

n+ 1 2

2•3n

＞1-

n+ 1 2

2•3n

＞1-

n+2

2n

=Tn-1
∴3ⁿ（T_n-1）＜b_n
（3）An=

1

n(n+1)

Tn=

1

n(n+1)

(2-

n+2

2n

)=

2

n(n+1)

-

n-2

n(n+1)2n

由

2

n(n+1)

=

2

n

-

2

n+1

， 

n+2

n(n+1)2n

=

1

n2n

-

1

(n+1)2n+1

可得
S_n=A₁+A₂+A₃+…+A_n
=(

2

1

-

2

2

+

2

2

-

2

3

+

2

3

-

2

4

+…+

2

n

-

2

n+1

)-(

1

1•2

-

1

2•22

+

1

2•22

-

1

3•23

+…+

1

n2n

-

1

(n+1)2n+1

)=2-

2

n+1

-

1

2

+

1

(n+1)2n+1

=

3

2

-

2

n+1

+

1

(n+1)2n+1

＜

3

2

+

1-2n+2

(n+1)2n+1

＜

3

2

＜

5

2

点评：本题主要考查叠加法求数列的通项，考查错位相减求数列的和，数列与不等式的综合，有一定难度．