Question

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=2，a₂=6
（1）对于任意的正自然数n，设点Pn(an，

Sn

n

-3)在直线E上，求直线E的方程；
（2）设数列{b_n}，其中a_nb_n=2，问从{b_n}中是否能选出无穷项，按原来的顺序排成等比数列{c_n}，使{c_n}的各项和等于

1

2

？若能，请说明理由并求出数列{c_n}的第一项和公比，若不能，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）a_n=4n-2，S_n=2n²，n∈N^*，所以P_n（4n-2，2n-3），由此能求出曲线E的方程．
（2）bn=

2

an

，假设存在一个等比数列{c_n}：设其首项为c1=

2

ar

=

2

4r-2

，第二项为c2=

2

as

=

2

4s-2

，则公比为q=

2 4s-2

2 4r-2

=

4r-2

4s-2

=

2r-1

2s-1

，由此可知存在唯一的等比数列{c_n}，首项为c1=

2

4r-2

=

1

3

，公比为q=

4r-2

4s-2

=

1

3

．

解答：解：（1）a_n=4n-2，S_n=2n²，n∈N^*（2分）
所以P_n（4n-2，2n-3）
设P_n（x，y），则

x=4n-2 y=2n-3

，
得x-2y-4=0即为曲线E的方程 （4分）
（2）bn=

2

an

，假设存在一个等比数列{c_n}：设其首项为c1=

2

ar

=

2

4r-2

，（r∈N*）
第二项为c2=

2

as

=

2

4s-2

，（s∈N*，r＜s），（5分）
则公比为q=

2 4s-2

2 4r-2

=

4r-2

4s-2

=

2r-1

2s-1

，0＜q＜1，（6分）
所以得

2 4r-2

1- 2r-1 2s-1

=

2s-1

(2r-1)(2s-2r)

=

1

2

（7分）
所以s=

2r2-r-1

2r-3

=

(2r+1)(r-1)

2r-3

=(1+

4

2r-3

)(r-1)）
因为r、s∈N*，
所以存在唯一的r=2，s=5（9分）
所以存在唯一的等比数列{c_n}，
首项为c1=

2

4r-2

=

1

3

，
公比为q=

4r-2

4s-2

=

1

3

（11分）

点评：本题考查不等式和数列的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．