Question

已知函数f（x）=ax²+bx（a≠0）的导函数f'（x）=-2x+7，数列{a_n}的前n项和为S_n，点P_n（n，S_n）（n∈N⁺）均在函数y=f（x）的图象上．
（1）求数列{a_n}的通项公式及S_n的最大值；
（2）设数列b_n满足bn=-

an

2

+7，数列{

nbn+m

an?an+1+40n-40

}的前n项的和为T_n，当m≥3时，求证：Tn＞

n

4

+

1

8

．

Answer 1

分析：（1）求出f（x）的导函数即可得到a与b的值，然后把P_n（n，S_n）代入到f（x）中得到S_n=-n²+7n，利用a_n=S_n-S_n-1得到通项公式，令a_n=-2n+8≥0得到n的范围即可求出S_n的最大值；
（2）先求出数列{b_n}的通项公式，代入化简，然后利用裂项求和法求出数列{

nbn+m

an?an+1+40n-40

}的前n项的和为T_n，从而证得不等式．

解答：解：（1）∵f（x）=ax²+bx（a≠0），∴f'（x）=2ax+b
由f'（x）=-2x+7得：a=-1，b=7，所以f（x）=-x²+7x
又因为点P_n（n，S_n）（n∈N^*）均在函数y=f（x）的图象上，所以有S_n=-n²+7n
当n=1时，a₁=S₁=6
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=-2n+8，∴a_n=-2n+8（n∈N^*）
令a_n=-2n+8≥0得n≤4，∴当n=3或n=4时，S_n取得最大值12
综上，a_n=-2n+8（n∈N^*），当n=3或n=4时，S_n取得最大值12
（2）由（1）知a_n=-2n+8（n∈N^*），所以bn=-

an

2

+7=n+3，因为m≥3，所以

nbn+m

an?an+1+40n-40

=

n2+3n+m

4(k2+3k+2)

≥

n2+3n+3

4(k2+3k+2)

=

1

4

[1+

1

(k+1)(k+2)

]=

1

4

[1+(

1

k+1

-

1

k+2

)]
所以Tn=

1

4

n+

1

4

[(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

4

)+…+(

1

n+1

-

1

n+2

)]
=

1

4

n+

1

4

(

1

2

-

1

n+2

)＞

n

4

+

1

8

点评：考查学生利用做差法求等差数列通项公式的能力，以及掌握用裂项求和法的方法求数列前n项的和．考查学生求导数的能力，以及灵活运用等比数列的前n项和公式来解决问题．