Question

方程sinx+

3

cosx+a=0在（0，2π）内有相异两解α，β，则α+β=

 

．

Answer 1

分析：利用辅助角公式将sinx+

3

cosx+a=0转化为-a=2sin（x+

π

3

），构造函数f（x）=2sin（x+

π

3

）与y=-a，并在同一坐标系中作出其图象，数形结合即可求得α+β的值．

解答：解：∵sinx+

3

cosx+a=0，
∴-a=sinx+

3

cosx=2（

1

2

sinx+

3

2

cosx）=2sin（x+

π

3

），
令f（x）=2sin（x+

π

3

），y=-a，
∵0＜x＜2π，
∴

π

3

＜x+

π

3

＜2π+

π

3

=

7π

3

，
在同一坐标系中作出f（x）=2sin（x+

π

3

）与y=-a的图象，

由图知，当x=

π

6

，即x+

π

3

=

π

2

时，f（x）取到最大值2，当x=

7π

6

时，x+

π

3

=

7π

6

+

π

3

=

3π

2

，f（x）取到最小值-2；
方程sinx+

3

cosx+a=0在（0，2π）内有相异两解α，β?直线y=-a与曲线f（x）=2sin（x+

π

3

）在（0，2π）内有两个不同的交点，
当交点的横坐标分别为α₁与β₁时，α₁+β₁=

π

3

；
当交点的横坐标分别为α₂与β₂时，α₂+β₂=

7π

3

；
∴α+β=

π

3

或

7π

3

．
故答案为：

π

3

或

7π

3

．

点评：不同考查两角和与差的正弦函数，考查函数的零点与方程根的关系，作图是难点，考查作图与分析的能力，属于中档题．