Question

2．已知函数f（x）=$\sqrt{lo{g}_{2}（x-1）}$的定义域为集合A，函数g（x）=（$\frac{1}{2}$）^x，（-1≤x≤0）的值域为集合B．
（1）求A∩B；
（2）若集合C={x|a≤x≤2a-1}，且C∩B=C，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）要使函数f（x）=$\sqrt{lo{g}_{2}（x-1）}$有意义，则log₂（x-1）≥0，利用对数的单调性可得x的范围，即可得到其定义域为集合A；对于函数g（x）=（$\frac{1}{2}$）^x，由于-1≤x≤0，利用指数函数的单调性可得$（\frac{1}{2}）^{0}≤g（x）$≤$（\frac{1}{2}）^{-1}$，即可得出其值域为集合B．利用交集运算性质可得A∩B．
（2）由于C∩B=C，可得C⊆B．分类讨论：对C=∅与C≠∅，利用集合之间的关系即可得出．

解答 解：（1）要使函数f（x）=$\sqrt{lo{g}_{2}（x-1）}$有意义，则log₂（x-1）≥0，解得x≥2，
∴其定义域为集合A=[2，+∞）；
对于函数g（x）=（$\frac{1}{2}$）^x，∵-1≤x≤0，
∴$（\frac{1}{2}）^{0}≤g（x）$≤$（\frac{1}{2}）^{-1}$，化为1≤g（x）≤2，其值域为集合B=[1，2]．
∴A∩B={2}．
（2）∵C∩B=C，∴C⊆B．
当2a-1＜a时，即a＜1时，C=∅，满足条件；
当2a-1≥a时，即a≥1时，要使C⊆B，则$\left\{\begin{array}{l}{a≥1}\\{2a-1≤2}\end{array}\right.$，解得$1≤a≤\frac{3}{2}$．
综上可得：a∈$（-∞，\frac{3}{2}]$．

点评 本题考查了函数的单调性、集合的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．