Question

10．本小题满分12分）
已知函数f（x）=sinx（2cosx-sinx）+cos²x．
（Ⅰ）讨论函数f（x）在[0，π]上的单调性；
（Ⅱ）设$\frac{π}{4}$＜α＜$\frac{π}{2}$，且f（α）=-$\frac{5\sqrt{2}}{13}$求sin2α的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用二倍角公式和和差角（辅助角）公式，将函数的解析式化为正弦型函数的形式，再由正弦函数的图象和性质，可得函数f（x）在[0，π]上的单调性；
（Ⅱ）由$\frac{π}{4}$＜α＜$\frac{π}{2}$，且f（α）=-$\frac{5\sqrt{2}}{13}$，sin（2α+$\frac{π}{4}$）=-$\frac{5}{13}$，cos（2α+$\frac{π}{4}$）=-$\frac{12}{13}$，代入两角和的正弦公式，可得答案．

解答 解：（Ⅰ） f（x）=sinx•（2cosx-sinx）+cos²x=sin2x-sin²x+cos²x=sin2x+cos2x=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），（2分）
由x∈[0，π]得2x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{9π}{4}$]，
当2x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]即x∈[0，$\frac{π}{8}$]时，f（x）递增；
当2x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{2}$]即x∈[$\frac{π}{8}$，$\frac{5π}{8}$]时，f（x）递减；
当2x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{3π}{2}$，$\frac{9π}{4}$]即x∈[$\frac{5π}{8}$，π]时，f（x）递增．
综上，函数f（x）在区间[0，$\frac{π}{8}$]、[$\frac{5π}{8}$，π]上递增，在区间[$\frac{π}{8}$，$\frac{5π}{8}$]上递减．（6分）
（Ⅱ）由f（α）=-$\frac{5\sqrt{2}}{13}$，即$\sqrt{2}$sin（2α+$\frac{π}{4}$）=-$\frac{5\sqrt{2}}{13}$，
得sin（2α+$\frac{π}{4}$）=-$\frac{5}{13}$，（7分）
因为$\frac{π}{4}$＜α＜$\frac{π}{2}$，所以$\frac{3π}{4}$＜2α+$\frac{π}{4}$＜$\frac{5π}{4}$，
可得cos（2α+$\frac{π}{4}$）=-$\frac{12}{13}$，（9分）
则sin2α=sin[（2α+$\frac{π}{4}$）-$\frac{π}{4}$]=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2α+$\frac{π}{4}$）-$\frac{\sqrt{2}}{2}$cos（2α+$\frac{π}{4}$）（11分）
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×（-$\frac{5}{13}$）-$\frac{\sqrt{2}}{2}$×（-$\frac{12}{13}$）=$\frac{7\sqrt{2}}{26}$．（12分）

点评 本题考查的知识点是正弦型函数的图象和性质，诱导公式和和差角（辅助角）公式，同角三角函数的基本关系公式，二倍角的正切公式和两角和的正弦公式，是三角函数的综合应用，难度中档．