Question

20．已知F₁是双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左焦点，点B的坐标为（0，b），直线F₁B与双曲线C的两条渐近线分别交于P，Q两点，若$\overrightarrow{QP}$=4$\overrightarrow{P{F}_{1}}$，则双曲线C的离心率为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{6}}{2}$
• B． $\frac{3}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{5}}{2}$
• D． 2

Answer 1

分析 求出P，Q的坐标，利用$\overrightarrow{QP}$=4$\overrightarrow{P{F}_{1}}$，求出双曲线C的离心率．

解答 解：由题意，k_PQ=$\frac{b}{c}$．
∴直线PQ为：y=$\frac{b}{c}$（x+c），与y=$\frac{b}{a}$x．联立得：Q（$\frac{ac}{c-a}$，$\frac{bc}{c-a}$）；
与y=-$\frac{b}{a}$x．联立得：P（-$\frac{ac}{c+a}$，$\frac{bc}{c+a}$）．
∵$\overrightarrow{QP}$=4$\overrightarrow{P{F}_{1}}$，
∴-$\frac{ac}{c+a}$-$\frac{ac}{c-a}$=4（-c+$\frac{ac}{c+a}$），
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{3}{2}$．
故选：B．

点评 本题考查双曲线C的离心率，考查学生的计算能力，确定P，Q的坐标是关键．