Question

10．已知对数函数f（x）=log_ax在定义域上是减函数．
（1）函数f（x）=1og_ax的图象经过定点（1，0），若将这个定点移至原点，求所得函数的解析式；
（2）若f（a+2）＜f（2a）＜0，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据图象平移的法则，将函数f（x）的图象左移1个单位，再写出对应的函数解析式；
（2）根据题意，列出不等式组$\left\{\begin{array}{l}{0＜a＜1}\\{a+2＞2a＞1}\end{array}\right.$，求出解集即可．

解答 解：（1）函数f（x）=1og_ax的图象经过定点（1，0），
将这个定点移至原点，所得函数的解析式为g（x）=log_a（x+1）；
（2）∵函数f（x）=log_ax在定义域上是减函数，
且f（a+2）＜f（2a）＜0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0＜a＜1}\\{a+2＞2a＞1}\end{array}\right.$，
解得$\frac{1}{2}$＜a＜1；
∴a的取值范围是（$\frac{1}{2}$，1）．

点评 本题考查了对数函数的图象与性质的应用问题，也考查了转化思想的应用问题，是基础题目．