Question

15．若不等式x+$\sqrt{xy}$≤a（x+2y）对任意的正实数x，y都成立，则实数a的最小值是（　　）

• A． $\frac{2}{3}$
• B． $\frac{\sqrt{6}+2}{4}$
• C． $\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$
• D． $\frac{\sqrt{2}+2}{4}$

Answer 1

分析 不等式x+$\sqrt{xy}$≤a（x+2y）对任意的正实数x，y都成立，化为a≥$\frac{x+\sqrt{xy}}{x+2y}$，令s=$\frac{x+\sqrt{xy}}{x+2y}$=$\frac{1+\sqrt{\frac{y}{x}}}{1+2•\frac{y}{x}}$，令$\sqrt{\frac{y}{x}}$=t＞0，则s=$\frac{1+t}{1+2{t}^{2}}$，化为2st²-t+s-1=0，根据上述方程存在正实数根，即可得出．

解答 解：∵不等式x+$\sqrt{xy}$≤a（x+2y）对任意的正实数x，y都成立，
∴a≥$\frac{x+\sqrt{xy}}{x+2y}$，
令s=$\frac{x+\sqrt{xy}}{x+2y}$=$\frac{1+\sqrt{\frac{y}{x}}}{1+2•\frac{y}{x}}$，
令$\sqrt{\frac{y}{x}}$=t＞0，则s=$\frac{1+t}{1+2{t}^{2}}$，
化为2st²-t+s-1=0，
∵上述方程存在正实数根，则$\left\{\begin{array}{l}{△=0}\\{\frac{1}{2s}＞0}\\{\frac{s-1}{2s}＞0}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{△＞0}\\{\frac{s-1}{2s}＜0}\end{array}\right.$，
解得a=$\frac{\sqrt{6}+2}{4}$，或a≥$\frac{\sqrt{6}+2}{4}$．
∴实数a的最小值是$\frac{\sqrt{6}+2}{4}$，
故选：B．

点评 本题考查了不等式的性质、一元二次方程有实数根与判别式的关系、二次函数的图象与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．