Question

5．已知$\overrightarrow{a}$为单位向量，|$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{2}$．
（1）若$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$，求$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$；
（2）若$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$的夹角为45°，求|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|；
（3）若若$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$垂直，求若$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角．

Answer 1

分析 （1）讨论当$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$夹角为0°时，当$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$夹角为180°时，由向量的数量积的定义，计算即可得到所求值；
（2）运用向量的数量积的定义和向量的平方即为模的平方，计算即可得到所求值；
（3）运用向量垂直的条件：数量积为0，以及向量的夹角公式，计算即可得到所求值．

解答 解：（1）若$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$，可得
当$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$夹角为0°时，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=$\sqrt{2}$；
当$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$夹角为180°时，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=-$\sqrt{2}$；
（2）$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow{b}$|•cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=1•$\sqrt{2}$•$\frac{\sqrt{2}}{2}$=1，
则|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|²=|$\overrightarrow{a}$|²+2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+|$\overrightarrow{b}$|²=1+2+2=5，
即|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{5}$；
（3）由（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{a}$=0得$\overrightarrow{a}$²=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$，设$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$夹角为α，
则cosα=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{b}|}$=$\frac{1}{1•\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
所以$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$夹角为45°．

点评 本题考查向量的数量积的定义和模的求法，注意讨论向量同向或反向，考查向量的夹角的求法，注意运用夹角公式，属于基础题．