Question

14．一扇形的圆心角为2弧度，记此扇形的周长为c，面积为S，则$\frac{c-1}{S}$的最大值为4．

Answer 1

分析 设扇形的半径为r，则可求：C=4r，S=r²，由配方法可得$\frac{c-1}{S}$=-（$\frac{1}{r}$-2）²+4≤4，当$\frac{1}{r}$=2，即r=$\frac{1}{2}$时等号成立，从而可求$\frac{c-1}{S}$的最大值．

解答 解：∵设扇形的弧长为l，圆心角大小为2，半径为r，则l=2r，可求：C=l+2r=2r+2r=4r，
扇形的面积为S=$\frac{1}{2}$lr=$\frac{1}{2}$r²2=r²，
∴$\frac{c-1}{S}$=$\frac{4r-1}{{r}^{2}}$=-（$\frac{1}{r}$）²+$\frac{4}{r}$=-（$\frac{1}{r}$-2）²+4≤4，当$\frac{1}{r}$=2，即r=$\frac{1}{2}$时等号成立．
则$\frac{c-1}{S}$的最大值为4．
故答案为：4．

点评 本题考查弧长公式，扇形面积公式的应用，考查方程思想和配方法，考查计算能力，属于中档题．