Question

7．已知等比数列{a_n}的公比q＞1，a₁=1，且a₁，a₃，a₂+14成等差数列，数列{b_n}满足：a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=（n-1）•3ⁿ+1，n∈N．
（I）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若ma_n≥b_n-8恒成立，求实数m的最小值．

Answer 1

分析 （I）数列{a_n}是首项为1，公比为q的等比数列，运用等比数列的通项公式和等差数列的中项性质，解方程可得a_n=3^n-1，再将n换为n-1，两式相减可得b_n=2n-1；
（2）若ma_n≥b_n-8恒成立，即为m≥$\frac{2n-9}{{3}^{n-1}}$的最大值，由c_n=$\frac{2n-9}{{3}^{n-1}}$，作差，判断单调性，即可得到最大值，进而得到m的最小值．

解答 解：（I）∵数列{a_n}是首项为1，公比为q的等比数列，
∴a_n=q^n-1，
由a₁，a₃，a₂+14成等差数列，可得2a₃=a₁+a₂+14，
即为2q²=1+q+14，解得q=3（负的舍去），
即有a_n=3^n-1，
∴a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_nb_n=b₁+3b₂+3²b₃+…+3^n-1b_n=（n-1）•3ⁿ+1，
∴b₁+3b₂+3²b₃+…+3^n-2b_n-1=（n-1-1）•3^n-1+1（n≥2），
两式相减得：3^n-1b_n=（n-1）•3ⁿ-（n-2）•3^n-1=（2n-1）•3^n-1，
∴b_n=2n-1，
当n=1时，a₁b₁=1，
即b₁=1满足上式，
∴数列{b_n}的通项公式是b_n=2n-1；
（2）若ma_n≥b_n-8恒成立，即为m≥$\frac{2n-9}{{3}^{n-1}}$的最大值，
由c_n=$\frac{2n-9}{{3}^{n-1}}$，n≥2时，c_n-1=$\frac{2n-11}{{3}^{n-2}}$，
c_n-c_n-1=$\frac{2n-9}{{3}^{n-1}}$-$\frac{2n-11}{{3}^{n-2}}$=$\frac{24-4n}{{3}^{n-1}}$，
可得n=2，3，…，6时，c_n≥c_n-1；n=7，…时，c_n＜c_n-1．
即有n=5或6时，c_n取得最大值，且为$\frac{1}{81}$，
即为m≥$\frac{1}{81}$，可得m的最小值为$\frac{1}{81}$．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，注意运用等比数列的通项公式和等差数列的性质，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和数列的单调性，属于中档题．