Question

12．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若cosB=$\frac{12}{13}$，sin²B=sinA•sinC，且S_△ABC=$\frac{5}{2}$，则a+c=3$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 根据正弦定理以及余弦定理和三角形的面积公式建立方程关系进行求解即可．

解答 解：∵sin²B=sinA•sinC，
∴b²=ac，
∵cosB=$\frac{12}{13}$，
∴sinB=$\sqrt{1-（\frac{12}{13}）^{2}}$=$\frac{5}{13}$，
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{5}{2}$，
∴$\frac{1}{2}$ac×$\frac{5}{13}$=$\frac{5}{2}$，
得ac=13，即b²=ac=13，
∵b²=a²+c²-2accosB，
∴13=（a+c）²-2ac-2accosB=（a+c）²-2×13-2×13×$\frac{12}{13}$，
即（a+c）²=63，
即a+c=3$\sqrt{7}$，
故答案为：3$\sqrt{7}$．

点评 本题主要考查正弦定理的应用，根据余弦定理和三角形的面积公式建立方程关系是解决本题的关键．