Question

20．已知数列{a_n}满足a₁=$\frac{1}{2}$，a_n+1=$\frac{2{a}_{n}}{{a}_{n}+1}$（n∈N^*）．
（1）设b_n=$\frac{1}{{a}_{n}}$-1，证明：数列{b_n}是等比数列，并求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）记数列{nb_n}的前n项和为T_n，求证：T_n＜4．

Answer 1

分析 （1）通过对a_n+1=$\frac{2{a}_{n}}{{a}_{n}+1}$两边同时取倒数可知$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{{a}_{n}}$+$\frac{1}{2}$，变形可知$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-1=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{{a}_{n}}$-1），进而可知数列{b_n}是公比为$\frac{1}{2}$的等比数列，通过求出数列{b_n}的通项公式可知数列{a_n}的通项公式；
（2）通过（1）可知nb_n=n•$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，进而利用错位相减法计算、放缩即得结论．

解答 证明：（1）∵a_n+1=$\frac{2{a}_{n}}{{a}_{n}+1}$（n∈N^*），
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{{a}_{n}+1}{2{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{{a}_{n}}$+$\frac{1}{2}$，
整理得：$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-1=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{{a}_{n}}$-1），
∵b_n=$\frac{1}{{a}_{n}}$-1，
∴数列{b_n}是公比为$\frac{1}{2}$的等比数列，
又∵b₁=$\frac{1}{{a}_{1}}$-1=2-1=1，
∴b_n=$\frac{1}{{a}_{n}}$-1=$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，
∴a_n=$\frac{1}{1+\frac{1}{{2}^{n-1}}}$=$\frac{{2}^{n-1}}{1+{2}^{n-1}}$；
（2）由（1）可知nb_n=n•$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，
则T_n=1•$\frac{1}{{2}^{0}}$+2•$\frac{1}{2}$+3•$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+n•$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，
$\frac{1}{2}$T_n=1•$\frac{1}{2}$+2•$\frac{1}{{2}^{2}}$+3•$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+（n-1）•$\frac{1}{{2}^{n-1}}$+n•$\frac{1}{{2}^{n}}$，
两式相减得：$\frac{1}{2}$T_n=1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$-n•$\frac{1}{{2}^{n}}$
=$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$-n•$\frac{1}{{2}^{n}}$
=2-$\frac{n+2}{{2}^{n}}$，
∴T_n=2（2-$\frac{n+2}{{2}^{n}}$）=4-$\frac{n+2}{{2}^{n-1}}$＜4．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查错位相减法，考查放缩法，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．